Question

16．p为什么数时，关于x的方程7x²-（p+13）x+p²-p-2=0的两根α、β分别满足0＜α＜1，1＜β＜2．

Answer 1

分析 设f（x）=7x²-（m+13）x+m²-m-2，则由题意可分三种情况：f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0，解不等式求得实数p的取值范围即可．

解答 解：设f（x）=7x²-（p+13）x+p²-p-2，则f（x）=0的两根α、β分别满足0＜α＜1，1＜β＜2．
需要：f（0）＞0，
则p²-p-2＞0，
解得p＞2或p＜-1；
f（1）＜0，
则7-（p+13）+p²-p-2＜0，
解得-2＜p＜4；
f（2）＞0，
则28-2（p+13）+p²-p-2＞0，
解得p＞3或p＜0．
综上可知：则p的范围是：-2＜p＜-1或3＜p＜4．

点评 本题主要考查了抛物线和x轴交点的问题，用到的知识点有一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化和分类的数学思想，属于中档题，解题的关键是掌握函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．