题目内容

如图，P为边长为2的等边三角形ABC内任意一点，连接PA、PB、PC，过P点分别作BC、AC、AB边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD+PE+PF等于

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
2
D.
$数学公式$

B
分析：求出等边三角形的高，再根据△ABC的面积等于△PAB、△PBC、△PAC三个三角形面积的和，列式并整理即可得到PD+PE+PF等于三角形的高．
解答：∵正三角形的边长为2，
∴高为2×sin60°= $\text{[math]}$ ，
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ ×2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵PD、PE、PF分别为BC、AC、AB边上的高，
∴S_△PBC= $\text{[math]}$ BC•PD，S_△PAC= $\text{[math]}$ AC•PE，S_△PAB= $\text{[math]}$ AB•PF，
∵AB=BC=AC，
∴S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB= $\text{[math]}$ BC•PD+ $\text{[math]}$ AC•PE+ $\text{[math]}$ AB•PF= $\text{[math]}$ ×2（PD+PE+PF）=PD+PE+PF，
∵S_△ABC=S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB，
∴PD+PE+PF= $\text{[math]}$ ．
故答案为：B．
点评：本题主要利用等边三角形三边相等的性质和三角形的面积等于被分成的三个三角形的面积的和求解；第二问体现了数学问题中由一般到特殊的解题思想．

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甲：△AEF的边AE=

cm；
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（1）填充甲同学所得结果中的数据；
（2）写出在乙同学所得结果的求解过程；
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②丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG=BF，再求出S（S为四边形AEGD的面积）与x（AF=x）的函数关系式，并问当x为何值时，S最大？最大值是多少？

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【小题2】写出在乙同学所得结果的求解过程；
【小题3】当点F在AD边上除点A、D外的任何一处（如图2）时：
① 试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论；
② 丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG=BF，再求出S（S为四边形AEGD的面积）与x（AF=x）的函数关系式，并问当x为何值时，S最大？最大值是多少？

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