Question

（2012•临沂）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，
（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．

Answer 1

分析：（1）由AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，易证得△ABC≌DEF，即可得BC=EF，且BC∥EF，即可判定四边形BCEF是平行四边形；
（2）由四边形BCEF是平行四边形，可得当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，所以连接BE，交CF与点G，证得△ABC∽△BGC，由相似三角形的对应边成比例，即可求得AF的值．

解答：（1）证明：∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF．
在△ABC和△DEF中，

AC=DF ∠A=∠D AB=DE

，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，
∴BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形．

（2）解：连接BE，交CF于点G，
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，
∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，
∴AC=

AB2+BC2

=5，
∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，
∴△ABC∽△BGC，
∴

BC

AC

=

CG

BC

，
即

3

5

=

CG

3

，
∴CG=

9

5

，
∵FG=CG，
∴FC=2CG=

18

5

，
∴AF=AC-FC=5-

18

5

=

7

5

，
∴当AF=

7

5

时，四边形BCEF是菱形．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．