Question

（2012•临沂）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标．
（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点．

解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，
∵∠AOB=120°，
∴∠BOC=60°，
又∵OA=OB=4，
∴OC=

1

2

OB=

1

2

×4=2，BC=OB•sin60°=4×

3

2

=2

3

，
∴点B的坐标为（-2，-2

3

）；

（2）∵抛物线过原点O和点A、B，
∴可设抛物线解析式为y=ax²+bx，
将A（4，0），B（-2．-2

3

）代入，得

16a+4b=0 4a-2b=-2 3

，
解得

a=- 3 6 b= 2 3 3

，
∴此抛物线的解析式为y=-

3

6

x²+

2 3

3

x

（3）存在，
如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），
①若OB=OP，
则2²+|y|²=4²，
解得y=±2

3

，
当y=2

3

时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=

PD

OP

=

3

2

，
∴∠POD=60°，
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，
即P、O、B三点在同一直线上，
∴y=2

3

不符合题意，舍去，
∴点P的坐标为（2，-2

3

）
②若OB=PB，则4²+|y+2

3

|²=4²，
解得y=-2

3

，
故点P的坐标为（2，-2

3

），
③若OP=BP，则2²+|y|²=4²+|y+2

3

|²，
解得y=-2

3

，
故点P的坐标为（2，-2

3

），
综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，-2

3

），

点评：此题融合了函数解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，综合程度较高，但属于二次函数综合题型中的常见考查形式，没有经过分类讨论而造成漏解是此类题目中易错的地方．