Question

已知：如图，AC是⊙O的直径，AB是弦，MN是过点A的直线，AB等于半径长．

(1)若∠BAC=2∠BAN，求证：MN是⊙O的切线；

(2)在(1)成立的条件下，当点E是的中点时，在AN上截取AD=AB，连接BD、BE、DE，求证：△BED是等边三角形．

Answer 1

证明：(1)连接OB．

    因为  AC是⊙O的直径，AB是弦，且等于半径长．

    所以  OA=OB=AB．

    所以  △AOB为等边三角形．

    所以  ∠OAB=60°．

    因为  ∠BAC=2∠BAN=60°，

    所以  ∠BAN=30°．

    所以  ∠CAN=∠BAC+∠BAN=90°．

    所以  AC⊥MN，且AC为直径，

    所以  MN是⊙O的切线．

    (2)连接AE，OE．

    由E是的中点，可得∠BAE=∠ABE=15°．

    易证  △ABE≌△ADE

    所以  BE=DE，∠EDA=15°．

    可证得  ∠BDE=60°．

    所以  △BDE是等边三角形．