题目内容

如图，在平面直角坐标系中，⊙M分别交坐标轴于点A、B、C，圆的半径为 $数学公式$ ，点M（1，-1）．
（1）求点A、B、C的坐标．
（2）若抛物线y=x²+bx+c过点C和点D（2，-3），求抛物线的解析式，并验证A、B两点是否在此抛物线上；
（3）在（2）中抛物线上是否存在一点P，使得直线PO把△BOC的面积分成1：2两部分？若存在，求出直线PO的解析式；若不存在，请说明理由．

解：（1）过M作ME⊥AB于E，MF⊥OC于F，如右图；
在Rt△MBE中，MB= $\text{[math]}$ ，ME=1，则 BE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2；
∴OB=OE+BE=1+2=3，即 B（3，0），同理可得 A（-1，0）、C（0，-3）．

（2）依题意，有：
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$
故抛物线的解析式：y=x²-2x-3；
当x=-1时，y=1+2-3=0，所以点A在抛物线的图象上；
同理，可证得点B也在抛物线的图象上．

（3）由B（3，0）、C（0，-3）可求得，直线BC：y=x-3；
设直线OP与线段BC的交点为G，则G（x，x-3）（x＞0）；
S_△OBC= $\text{[math]}$ ×3×3= $\text{[math]}$ ，
∴S_△OBG= $\text{[math]}$ S_△OBC= $\text{[math]}$ 或S_△OBG= $\text{[math]}$ S_△OBC=3；
①当S_△OBG= $\text{[math]}$ ×OB×|y_G|= $\text{[math]}$ ×3×（3-x）= $\text{[math]}$ 时，x=2，则 G（2，-1）；
直线OG：y=- $\text{[math]}$ x；
②当S_△OBG= $\text{[math]}$ ×OB×|y_G|= $\text{[math]}$ ×3×（3-x）=3时，x=1，则 G（1，-2）；
直线OG：y=-2x；
综上，存在符合条件的直线OP，且解析式为：y=- $\text{[math]}$ x或y=-2x．
分析：（1）过点M作线段AB、OC的垂线，根据垂径定理和勾股定理来确定点A、B、C的坐标．
（2）已求得点C的坐标，利用待定系数法即可得到抛物线的解析式，然后将A、B点的坐标代入其中进行验证即可．
（3）设直线OP与线段BC的交点为G，首先求出△OBC的面积，根据题意可以发现，△OBG的面积应该是△OBC面积的 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，在得到△OBC的面积后进一步的求出点G的纵坐标，而直线OBC的解析式易求得，那么点G的坐标就能确定出来，再由待定系数法求出直线OG（即直线OP）的解析式．
点评：此题的难度适中，主要考查了：函数解析式的确定、垂径定理和勾股定理的综合应用以及三角形面积的求法等综合知识．（3）题中，△BOC的两部分并没有明确面积大的部分在上还是在下，因此要分类进行讨论，以免漏解．