Question

如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，若∠BFA=90°，则下列四对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；③△CFD与△ABG；④△ADF与△EFD，其中相似的为（　　）

• A、①④
• B、①②
• C、②③④
• D、①②③④

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：

分析：根据判定三角形相似的条件对选项逐一进行判断．

解答：解：①根据题意得：∠BAE=∠ADC=∠AFE=90°
∴∠AEF+∠EAF=90°，∠DAC+∠ACD=90°
∴∠AEF=∠ACD
∴①中两三角形相似；

②∵∠AEB=∠FEA，∠AFE=∠EAB=90°，
∴△AFE∽△BAE，
∴

AE

EF

=

EB

AE

，
又∵AE=ED，
∴

ED

EF

=

EB

ED

而∠BED=∠BED，
∴△FED∽△DEB．
故②正确；

③∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠GCD，
∵∠ABE=∠DAF，∠EBD=∠EDF，且∠ABG=∠ABE+∠EBD，
∴∠ABG=∠DAF+∠EDF=∠DFC；
∵∠ABG=∠DFC，∠BAG=∠DCF，
∴△CFD∽△ABG，故③正确；

④∵△FED∽△DEB，
∴∠EFD=∠EDB，
∵AG=DG，
∴∠DAF=∠ADG，
∴∠DAF=∠EFD，
∴△ADF∽△EFD；
所以相似的有①②③④．
故选：D．

点评：此题考查了相似三角形的判定：
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．