Question

如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x的正半轴，y的正半轴交于点A、B，∠OMA=60°,过点B的切线交x轴负半轴于点C，抛物线过点A、B、C.

（1）求点A、B的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）若点D为抛物线对称轴上的一个动点，问是否存在这样的点D，使得△BCD是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点D的坐标.若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

 解：(1)∵⊙M为半径1

∴AB=2

∵∠OMA=60°,

∴∠OAM=60°

∴OA=1,OB=

∴A(1,0) ,B(0, )

（2）∵AB是⊙M的切线

∴∠CBA=90°

∵∠OAM=60°

∴AC=4

∴OA=3

∴C(-3,0)

设抛物线的解析式为

把A(1,0) ,B(0, ),C(-3,0)代入得

∴       ∴

 (3).抛物线的对称轴为x=-1

作BC的垂直平分线交抛物线于E，交对称轴于点

易求AB的解析式为

∵是BC的垂直平分线

∴∥AB

设的解析式为

∵交x轴于（-1，0）代入解析式得b=,

∴   把x=-1代入得y=0      ∴(-1，0),

过B做BH∥x轴，则BH=1

在Rt△中，由勾股定理得=

∴（-1，）同理可求其它点的坐标。

∴符合条件的点为：（-1，）, （-1，）, (-1，0),

(-1,) ，（-1，）.