Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径GH⊥AB，交AC于D，GH，BC的延长线相交于E．
（1）求证：∠OAD=∠E；
（2）若OD=1，DE=3，试求⊙O的半径；
（3）当

AGB

是什么类型的弧时，△CED的外心在△CED的外部、内部、一边上．（只写结论，不用证明）

Answer 1

（1）证明：连接OB，
∵GH⊥AB，
∴

AG

=

BG

．
∴∠AOG=∠GOB=

1

2

∠AOB．
∵∠ACB=

1

2

∠AOB，
∴∠AOG=∠ACB．
∴∠AOD=∠DCE．
又∠ADO=∠CDE，
∴∠OAD=∠E．

（2）连接OC，则∠OAD=∠OCA，
∵∠OAD=∠E，
∴∠OCD=∠E．
∵∠DOC=∠COE，
∴△OCD∽△OEC．
∴

OC

OE

=

OD

OC

．
∴OC²=OE?OD=（1+3）×1=4．
∴OC=2．
即⊙O的半径为2．

（3）当

AGB

是劣弧时，△CED的外心在△CED的外部；
当

AGB

是半圆时，△CED的外心在△CED的边上；
当

AGB

是优弧时，△CED的外心在△CED的内部．