Question

17．抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-kx+k与直线y=2x-1的两个交点距离最近时，k的取值为-1．

Answer 1

分析 设抛物线与直线的两个交点为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），则y₁=2x₁-1，y₂=2x₂-1，由由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-kx+k}\\{y=2x-1}\end{array}\right.$得$\frac{1}{2}$x²-kx+k=2x-1，可得x₁+x₂=2（k+2），x₁x₂=2（k+1），将其代入到d=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{5[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，可得d=$\sqrt{20（k+1）^{2}+20}$，据此可得k=-1时，d取得最小值．

解答 解：设抛物线与直线的两个交点为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
其中y₁=2x₁-1，y₂=2x₂-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-kx+k}\\{y=2x-1}\end{array}\right.$得$\frac{1}{2}$x²-kx+k=2x-1，
即x²-2（k+2）x+2（k+1）=0，
∴x₁+x₂=2（k+2），x₁x₂=2（k+1），△=[-2（k+2）]²-4×1×2（k+1）≥0，即k²+2k+2≥0
∴k为全体实数，
则两交点间的距离d=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（2{x}_{1}-1-2{x}_{2}+1）^{2}}$
=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+4（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{5[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$
=$\sqrt{5[4（k+2）^{2}-8（k+1）]}$
=$\sqrt{20（k+1）^{2}+20}$，
∴当k=-1时，d取得最小值，最小值为1，
故答案为：-1．

点评 本题主要考查抛物线与直线的交点问题、两点间的距离公式及二次函数的性质，根据题意得出两点间的距离关于k的表达式是解题的关键．