Question

17．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=$\sqrt{5}$，对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交边BC、AD于点E、F．
（1）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（2）如图2，证明：当旋转角∠AOF=90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果能，请说明理由，并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，OA=OC，求出∠1=∠2，根据ASA推出△AOF≌△COE即可；
（2）求出BA∥EF，根据平行四边形的性质得出AD∥BC，即AF∥BE，根据平行四边形的判定得出即可；
（3）求出四边形BEDF是平行四边形，根据菱形的判定得出即可；求出∠AOB，即可求出∠3，即可得出答案．

解答 解：（1）∵在□ABCD中，AD∥BC，OA=OC，
∴∠1=∠2，
在△AOF和△COEE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{OA=OC}\\{∠3=∠4}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE；

（2）由题意，∠AOF=90°，（如图2），
又∵AB⊥AC，
∴∠BAO=90°，∠AOF=90°，
∴∠BAO=∠AOF，
∴BA∥EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AF∥BE，
∵BA∥EF，AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形；

（3）当EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形（如图1），
∵AF=CE，AD∥BC，AD=BC，
∴FD∥BE；DF=BE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
又∵EF⊥BD，
∴口BEDF是菱形，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴BC²=AB²+AC²，
∵AB=1，BC=$\sqrt{5}$，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}+A{B}^{2}}$=2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵在△AOB中，AB=AO=1，∠BAO=90°，
∴∠AOB=∠ABO=45°，
∵EF⊥BD，
∴∠BOF=90°，
∴∠3=∠BOF-∠AOB=90°-45°=45°，
即旋转角为45°．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．