Question

已知抛物y=ax²+k经过点A（-1，0）、M（0，1）及x轴上另一点B，直线l∥x轴且与抛物线交于C、D两点，连接AD、BC，若C点横坐标是

1

2

，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

考点：二次函数的性质,待定系数法求一次函数解析式

专题：计算题

分析：先利用待定系数求出抛物线解析式为y=-x²+1，再根据B点的纵坐标为0，C点的横坐标为

1

2

确定它们的坐标，然后根据梯形的面积公式求解．

解答：解：把A（-1，0）、M（0，1）代入y=ax²+k得

a+k=0 k=1

，解得

a=-1 k=1

，则抛物线解析式为y=-x²+1；
令y=0，则-x²+1=0，解得x=±1，则B点坐标为（1，0）；
当x=

1

2

时，y=-x²+1=

3

4

，则C点坐标为（

1

2

，

3

4

），
∵直线l∥x轴且与抛物线交于C、D两点，
∴C点和D点是对称点，
而抛物线的对称轴为y轴，
∴D点坐标为（-

1

2

，

3

4

），
∴梯形ABCD的面积=

1

2

×（

1

2

+

1

2

+1+1）×

3

4

=

9

8

．

点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴直线x=-

b

2a

，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x=-

b

2a

时，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x=-

b

2a

时，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最高点．