Question

在平面直角坐标系内，直线y=

3

4

x+3与两坐标轴交于A，B两点，点O为坐标原点，若在该坐标系平面内有以点P（不与点ABO重合）为顶点的直角三角形与Rt三角形ABO全等，且有一条公共边，则所有符合条件的P点个数为多少个？并求出这些点的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：可先求得A、B两点的坐标，再分以AB为公共边，以OA为公共边和OB为公共边进行分别讨论求其坐标即可．

解答：解：在y=

3

4

x+3中，令x=0则y=3，令y=0则x=-4，
∴A为（-4，0），B为（0，3），可求得AB=5，
（Ⅰ）当以AB为公共边时，分两种情况：
（1）当PA=3，PB=4时，当P在x轴上方时，如图1，
可知∠PBA=∠BAO，
∴PB∥OA，
∴P点坐标为（-4，3），

当P点在x轴下方时，如图2，设PB交AO于点C，过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，
∵△PAB≌△OBA，
∴PB=AO=4，PA=OB=3，
设P点坐标为（x，y），则PE=DO=-x，PD=-y，AD=4+x，BE=3-y，
在Rt△PEB中，由勾股定理可得（-x）²+（3-y）²=4²，整理可得x²+y²-6y=7①，
在Rt△ADP中，由勾股定理可得（4+x）²+y²=3²，整理可得x²+y²+8x=-7②，
由①、②可解得x=-

119

50

，y=-

21

25

，
∴此时P点坐标为（-

119

50

，-

21

25

）；

（2）当PA=4，PB=3时，
当P在x轴上时则与O点重合，
当P在x轴上方时，如图3，过P作PF⊥x轴，过B作BG⊥PF于点G，
∵△PAB≌△OBA，
∴PB=BO=3，PA=OA=4，
设P点坐标为（x，y），则PF=y，FO=BG=-x，AF=4+x，PG=y-3，
在Rt△AFP中，由勾股定理可得y²+（4+x）²=4²，整理可得x²+y²+8x=0③，
在Rt△PGB中，由勾股定理可得x²+（y-3）²=3²，整理可得x²+y²-6y=0④，
由③、④可解得x=-

144

50

，y=

96

25

，
∴此时P点坐标为（-

144

50

，

96

25

，）；

（Ⅱ）当以AO为公共边时，分两种情况：
当P点在x上方时，与（-4，3）重合，如图4，
当P点在x下方时，当AP=BO=3时，可求得P点坐标为（-4，-3），
当PO=BO=3时，可求得P点坐标为（0，-3），

（Ⅲ）当以BO为公共边时，分两种情况：
当P点在y轴左侧时，与（-4，3）重合，如图5，
当P点在y轴右侧时，当BP=AO=4时，可求得P点坐标为（4，3），
当OP=OA=4时，可求得P点坐标为（4，0），

综上可知满足条件的P点共有七个，坐标分别为（-4，3）、（-

119

50

，-

21

25

）、（-

144

50

，

96

25

，）、（-4，-3）、（0，-3）、（4，3）、（4，0）．

点评：本题主要考查全等三角形的性质及直线的交点、勾股定理等知识的综合应用．分类讨论是这类问题的解题思想，先确定出P点的位置是解题的关键，设出点的坐标利用勾股定理得到坐标的方程是解题中的困难．本题数据比较繁琐，很容易出错．情况比较多，注意不重不漏．