Question

如图，AD为Rt△ABC斜边BC上的高，点E为DA延长线上一点，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F，交AB、AD于M、N两点．
（1）若线段AM、AN的长是关于x的一元二次方程x2-2mx+n2-mn+

5

4

m2=0的两个实数根，求证：AM=AN；
（2）若AN=

15

8

，DN=

9

8

，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）证明判别式△=0即可；
（2）充分利用题中的垂直关系，寻找已知和未知之间的关系，易证△EBD∽△CND，得DE：DC=BD：DN，即BD•DC=DN•ED．
因为AD⊥BC，则由射影定理有AD²=BD•DC，所以DN•ED=AD²．DN已知，AD易求，问题得解．

解答：解：（1）证明：△=(-2m)2-4(n2-mn+

5

4

m2)=-(m-2n)2≥0
∴（m-2n）²≤0
∴m-2n=0
∴△=0
∴一元二次方程x2-2mx+n2-mn+

5

4

m2=0
有两个相等的实数根
∴AM=AN；

（2）∵∠BAC=90°，AD⊥BC
∴∠ADC=∠ADB=90°，∠DAC=∠DBA
∴△ADC∽△BDA
∴

AD

BD

=

DC

AD

∴AD²=BD•DC
∵CF⊥BE
∴∠FCB+∠EBD=90°
∵∠E+∠EBD=90°
∴∠E=∠FCB
∵∠NDC=∠EDB=90°
∴△EBD∽△CND
∴

ED

CD

=

BD

DN

∴BD•DC=DN•ED
∴AD²=DN•ED
∵AN=

15

8

，DN=

9

8

∴AD=DN+AN=3
∴3²=

9

8

DE
∴DE=8．

点评：此题考查了一元二次方程根的判别式与几何知识的结合、相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大．