Question

如图，AD为Rt△ABC斜边BC上的高，点E为DA延长线上一点，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F，交AB、AD于M、N两点．
（1）若线段AM、AN的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，求证：AM=AN；
（2）若AN=，DN=，求DE的长．

Answer 1

解：（1）证明：
∴（m-2n）²≤0
∴m-2n=0
∴△=0
∴一元二次方程
有两个相等的实数根
∴AM=AN；

（2）∵∠BAC=90°，AD⊥BC
∴∠ADC=∠ADB=90°，∠DAC=∠DBA
∴△ADC∽△BDA
∴
∴AD²=BD•DC
∵CF⊥BE
∴∠FCB+∠EBD=90°
∵∠E+∠EBD=90°
∴∠E=∠FCB
∵∠NDC=∠EDB=90°
∴△EBD∽△CND
∴
∴BD•DC=DN•ED
∴AD²=DN•ED
∵AN=，DN=
∴AD=DN+AN=3
∴3²=DE
∴DE=8．
分析：（1）证明判别式△=0即可；
（2）充分利用题中的垂直关系，寻找已知和未知之间的关系，易证△EBD∽△CND，得DE：DC=BD：DN，即BD•DC=DN•ED．
因为AD⊥BC，则由射影定理有AD²=BD•DC，所以DN•ED=AD²．DN已知，AD易求，问题得解．
点评：此题考查了一元二次方程根的判别式与几何知识的结合、相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大．