Question

如图，已知直线l₁、l₂的函数关系式分别为y=-

4

3

x+b，y=-x+3；直线l₂与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，若将坐标原点O沿直线l₂翻折，落点恰好在直线l₁上，那么直线l₁、l₂及x轴、y轴所围成的图形面积是

111

8

．

Answer 1

分析：设出原点与直线l₂的对称点O′的坐标（c，d），然后根据直线l₂是线段OO′的垂直平分线，得到斜率乘积为-1且OO′的中点在直线l₂上，分别列出两个关于c与d的方程，联立两个方程即可求出c与d的值，写出O′的坐标；然后将O′的坐标代入直线l₁的函数关系式求得点C、D的坐标．所以所求图形的面积=△COD的面积-△BOA的面积．

解答：解：∵直线l₂的函数关系式为y=-x+3，
∴易求A（3，0），B（0，3）．则OA=OB=3．
∴S_△AOB=

1

2

OA•OB=

1

2

×3×3=

9

2

；
设原点O关于直线y=-x+3的对称点坐标为O′（c，d），直线y=-x+3的斜率k=-1，
∵直线OO′与直线y=-x+3垂直，
∴k_OO′=1=

d

c

，即c=d①；
又∵OO′的中点Q在直线y=-x+3上，Q（

c

2

，

d

2

），代入直线直线y=-x+3得：d+c=6②，
联立①②解得：c=3，d=3，
∴点O′的坐标为（3，3），
∵点O′在直线y=-

4

3

x+b上，
∴3=-4+b，
解得b=7，
则易求C（

21

4

，0），D（0，7）．
∴OC=

21

4

，OD=7，
∴S_△COD=

1

2

OC•OD=

1

2

×

21

4

×7=

147

8

，
∴直线l₁、l₂及x轴、y轴所围成的图形面积，即S_{四边形ABCD}=S_△COD-S_△BOA=

147

8

-

9

2

=

111

8

．
故答案是：

111

8

．

点评：本题考查了一次函数综合题，其中涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形的性质以及轴对称图形的性质．难度较大，需要学生掌握一定的综合知识．