Question

已知：如图1，正方形ABCD和正方形EBGF，点M是线段DF的中点．
（1）试说明线段ME与MC的关系．
（2）如图2，若将上题中正方形EBGF绕点B顺时针旋转α度数（α＜90°），其他条件不变，上述结论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）延长EM、AD交于点H，连接EC，HC，由条件可以得出△EFM≌△HDM，就可以得出DH=EF，再由正方形的性质就可以得出△EBC≌△HDC，就可以得出△ECH为等腰直角三角形，从而得出结论；
（2）延长EM到H．使MH=ME，连接DH，EC，HC，由条件可以得出△EFM≌△HDM，就可以得出DH=EF，DH∥EF，由正方形EBGF绕点B顺时针旋转α度，就可以得出∠ABE=∠NDH=a，得出∠EBC=∠HDC，就可以得出△EBC≌△HDC，就可以得出△ECH为等腰直角三角形，从而得出结论．

解答：解：（1）ME=MC，ME⊥MC
理由：如图1，延长EM、AD交于点H，连接EC，HC，
∵四边形ABCD和四边形EBGF都是正方形，
∴BC=CD，∠A=∠B=∠BCD=∠ADC=∠BEF=90°，EF=EB．
∴AD∥EF，
∴∠EFM=∠HDM，∠FEM=∠DHM．∠BCD=∠CDH．
∴∠B=∠CDH．
∵点M是线段DF的中点，
∴FM=DM．
在△EFM和△HDM中

∠EFM=∠HDM ∠FEM=∠DHM FM=DM

，
∴△EFM≌△HDM（AAS），
∴EF=DH．EM=HM．
∴BE=DH．
在△EBC和△HDC中

BE=DH ∠B=∠CDH BC=DC

∴△EBC≌△HDC（SAS），
∴EC=HC，∠ECB=∠HCD．
∵∠BCE+∠ECD=90°，
∴∠HCD+∠ECD=90°，
∴∠ECH=90°．
∴∠MEC=45°．
∵EM=HM，EC=HC，
∴EM⊥CM，∠ECM=45°，
∴∠MEC=∠MCE
∴EM=MC；
（2）ME=MC，ME⊥MC
理由：延长EM到H．使MH=ME，连接DH，EC，HC，
∵点M是线段DF的中点，
∴FM=DM．
在△EFM和△HDM中

FM=DM ∠EMF=∠HMD EM=HM

，
∴△EFM≌△HDM（SAS），
∴EF=DH．
正方形EBGF绕点B顺时针旋转α度，
∴∠ABE=∠NDH=a．
∵四边形ABCD和四边形EBGF都是正方形，
∴BC=CD，∠A=∠B=∠BCD=∠ADC=∠BEF=90°，EF=EB．AD∥BC，
∴∠NDC=∠BCD=90°．EB=DH．
∴∠ABC=∠NDC，
∴∠ABC-∠ABF=∠NDC-NDH，
∴∠EBC=∠HDC
在△EBC和△HDC中

BE=DH ∠B=∠CDH BC=DC

∴△EBC≌△HDC（SAS），
∴EC=HC，∠ECB=∠HCD．
∵∠BCE+∠ECD=90°，
∴∠HCD+∠ECD=90°，
∴∠ECH=90°．
∴∠MEC=45°．
∵EM=HM，EC=HC，
∴EM⊥CM，∠ECM=45°，
∴∠MEC=∠MCE
∴EM=MC．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．