Question

函数y=

4

x

和y=

1

x

在第一象限内的图象如图，点P是y=

4

x

的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y=

1

x

的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA=

1

3

AP．其中所有正确结论的序号是

 

．

Answer 1

分析：①由A、B都在y=

1

x

的图象上，根据反比例函数的比例系数k的几何意义，可以直接得出结果；
②只有当点P的坐标为（2，2）时，PA与PB才相等；
③由四边形PAOB的面积=矩形OCPD的面积-△ODB的面积-△OCA的面积．根据反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△ODB、△OCA、矩形OCPD的面积都是常数，所以四边形PAOB的面积大小不会发生变化；
④根据反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△OPC面积等于2，△OCA的面积等于

1

2

，又同底（OC作底）的两个三角形的面积比等于它们的高的比，得出AC：PC=1：4，所以CA=

1

3

AP．

解答：解：①因点A和B都在反比例函数y=

1

x

的图象上，根据反比例函数k的几何意义可知，△ODB与△OCA的面积都等于

1

2

，正确；
②由图的直观性可知，P点至上而下运动时，PB在逐渐增大，而PA在逐渐减小，错误；
③因△ODB与△OCA的面积都等于

1

2

，它们面积之和始终等于1，而矩形OCPD面积始终等于4，所以四边形PAOB的面积始终等于3，即大小不会发生变化，正确；
④连接OP，△OPC面积始终等于2，△OCA的面积都等于

1

2

，因它们同底（OC作底），所以它们面积的比等于高AC与PC的比，即AC：PC=1：4，所以CA=

1

3

AP，正确．
故正确结论的序号是①③④．

点评：本题主要考查反比例函数比例系数k的几何意义．过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于|k|；反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S=

1

2

|k|．该知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．