Question

【题目】如图，在中，4AB=5AC，AD为的角平分线，点E在BC的延长线上，于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H，若点H是AC的中点，则的值为___________

Answer 1

【答案】

【解析】

利用角平分线的性质，得到BD＝CD；延长AC，构造一对全等三角形△ABD≌△AMD；

过点M作MN∥AD，由MD＝BD＝KD＝CD，得到等腰△DMK；然后利用角之间关系证明DM∥GN，从而推出四边形DMNG为平行四边形；由MN∥AD，列出比例式，求出的值．

解：已知AD为角平分线，则点D到AB、AC的距离相等，设为h．

∵，

∴BD＝CD．

如图，延长AC，在AC的延长线上截取AM＝AB，则有AC＝4CM．连接DM．

在△ABD与△AMD中，AB＝AM，∠BAD＝∠MAD，AD＝AD，

∴△ABD≌△AMD（SAS），

∴MD＝BD＝CD．

过点M作MN∥AD，交EG于点N，交DE于点K．

∵MN∥AD，

∴，

∴CK＝CD，

∴KD＝CD．

∴MD＝KD，即△DMK为等腰三角形，

∴∠DMK＝∠DKM．

由题意，易知△EDG为等腰三角形，且∠1＝∠2；

∵MN∥AD，

∴∠3＝∠4＝∠1＝∠2，

又∵∠DKM＝∠1，

∴∠DMK＝∠4，

∴DM∥GN，

∴四边形DMNG为平行四边形，

∴MN＝DG＝2FD．

∵点H为AC中点，AC＝4CM，

∴．

∵MN∥AD，

∴，即，

∴．

故答案为：．