Question

如图，已知抛物线经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8）．

（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

（2）直线CD交x轴于点E，过抛物线上在对称轴的右边的点P，作y轴的平行线交x轴于点F，交直线CD于M，使PM=EF，请求出点P的坐标；

（3）将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，那么抛物线向上最多平移多少个单位长度，向下最多平移多少个单位长度．

Answer 1

解：（1）根据题意可设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4）．

∵点C（0，﹣8）在抛物线y=a（x+2）（x﹣4）上，

∴﹣8a=﹣8．

∴a=1．

∴y=（x+2）（x﹣4）

=x²﹣2x﹣8

=（x﹣1）²﹣9．

∴抛物线的解析式为y=x²﹣2x﹣8，顶点D的坐标为（1，﹣9）．

（2）如图，

设直线CD的解析式为y=kx+b．

∴

解得：．

∴直线CD的解析式为y=﹣x﹣8．

当y=0时，﹣x﹣8=0，

则有x=﹣8．

∴点E的坐标为（﹣8，0）．

设点P的坐标为（m，n），

则PM=（m²﹣2m﹣8）﹣（﹣m﹣8）=m²﹣m，EF=m﹣（﹣8）=m+8．

∵PM=EF，

∴m²﹣m=（m+8）．

整理得：5m²﹣6m﹣8=0．

∴（5m+4）（m﹣2）=0

解得：m₁=﹣，m₂=2．

∵点P在对称轴x=1的右边，

∴m=2．

此时，n=2²﹣2×2﹣8=﹣8．

∴点P的坐标为（2，﹣8）．

（3）当m=2时，y=﹣2﹣8=﹣10．

∴点M的坐标为（2，﹣10）．

设平移后的抛物线的解析式为y=x²﹣2x﹣8+c，

①若抛物线y=x²﹣2x﹣8+c与直线y=﹣x﹣8相切，

则方程x²﹣2x﹣8+c=﹣x﹣8即x²﹣x+c=0有两个相等的实数根．

∴（﹣1）²﹣4×1×c=0．

∴c=．

②若抛物线y=x²﹣2x﹣8+c经过点M，

则有2²﹣2×2﹣8+c=﹣10．

∴c=﹣2．

③若抛物线y=x²﹣2x﹣8+c经过点E，

则有（﹣8）²﹣2×（﹣8）﹣8+c=0．

∴c=﹣72．

综上所述：要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，抛物线向上最多平移个单位长度，向下最多平移72个单位长度．