Question

已知：直线y=ax+b与抛物线y=ax²﹣bx+c的一个交点为A（0，2），同时这条直线与x轴相交于点B，且相交所成的角β为45°．

（1）求点B的坐标；

（2）求抛物线y=ax²﹣bx+c的解析式；

（3）判断抛物线y=ax²﹣bx+c与x轴是否有交点，并说明理由．若有交点设为M，N（点M在点N左边），将此抛物线关于y轴作轴反射得到M的对应点为E，轴反射后的像与原像相交于点F，连接NF，EF得△DEF，在原像上是否存在点P，使得△NEP的面积与△NEF的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵直线y=ax+b过A（0，2），同时这条直线与x轴相交于点B，且相交所成的角β为45°，

∴OA=OB，

∴当a＞0时，B（﹣2，0），当a＜0时，B（2，0）；

 

（2）把A（0，2），B（﹣2，0）代入直线y=ax+b得；，

解得：，

把A（0，2），B（2，0）代入直线y=ax+b得，

解得：，

∵抛物线y=ax²﹣bx+c过A（0，2），

∴c=2，

∴抛物线的解析式为：y=x²+2x+2或y=﹣x²+2x+2．

 

（3）存在．

如图，抛物线为y=x²+2x+2时，b²﹣4ac=4﹣4×1×2＜0，抛物线与x轴没有交点，

抛物线为y=﹣x²+2x+2时，b²﹣4ac=4﹣4×（﹣1）×2＞0，抛物线与x轴有两个交点；

∵轴反射后的像与原像相交于点F，则F点即为A点，

∴F（0，2）

∵△NEP的面积与△NEF的面积相等且同底，

∴P点的纵坐标为2或﹣2，

当y=2时，﹣x²﹣2x+2=2，解得：x=﹣2或x=0（与点F重合，舍去）；

当y=﹣2时，﹣x²﹣2x+2=﹣2，解得：x=﹣1+，x=﹣1﹣，

∴存在满足条件的点P，点P坐标为：（﹣2，2），（﹣1+，﹣2），（﹣1﹣，﹣2）．