Question

19．如图，⊙O的半径是7，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O分别作AB、BC、AC的垂线段，垂足为E、F、G，连接EF．若OG=4，则EF为$\sqrt{33}$．

Answer 1

分析 连结OC，由OG⊥AC，根据垂径定理得CG=AG，在Rt△OCG中，利用勾股定理可计算出CG，得出AC=2CG=2$\sqrt{33}$，再由OE⊥AB，OF⊥BC得到AE=BE，BF=CF，则EF为△BAC的中位线，然后根据三角形中位线性质得到EF=$\frac{1}{2}$AC，即可得出结果．

解答 解：连结OC，如图，
∵OG⊥AC，
∴CG=AG，
在Rt△OCG中，CG=$\sqrt{O{C}^{2}-O{G}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}{-4}^{2}}$=$\sqrt{33}$，
∴AC=2CG=2$\sqrt{33}$，
∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴AE=BE，BF=CF，
∴EF为△BAC的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{33}$．
故答案为$\sqrt{33}$．

点评 本题考查了垂径定理、勾股定理和三角形中位线性质定理；由勾股定理求出CG得出AC是解决问题的突破口．