Question

6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，分别以AB、BC、AC为边作正方形ABED、BCFK、ACGH，再作Rt△PQR，使∠R=90°，点H在边QR上，点D、E在边PR上，点G、F在边PQ上，则PQ的长为14+4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先证明△ABC≌△GFC（SAS），利用全等三角形的性质可得：∠CGF=∠BAC=30°，在直角△ABC中，根据三角函数即可求得AC，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得QR的长，在直角△QRP中运用三角函数即可得到RP、进而可求出PQ的长．

解答 解：延长BA交QR于点M，连接AR，AP．
在△ABC和△GFC中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=GC}\\{∠ACB=∠GCF}\\{BC=FC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△GFC（SAS），
∴∠CGF=∠BAC=30°，
∴∠HGQ=60°，
∵∠HAC=∠BAD=90°，
∴∠BAC+∠DAH=180°，
又∵AD∥QR，
∴∠RHA+∠DAH=180°，
∴∠RHA=∠BAC=30°，
∴∠QHG=60°，
∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°，
∴△QHG是等边三角形．
AC=AB•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
则QH=HA=HG=AC=2$\sqrt{3}$，
在直角△HMA中，HM=AH•sin60°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，AM=HA•cos60°=$\sqrt{3}$，
在直角△AMR中，MR=AD=AB=4．
∴QR=2$\sqrt{3}$+3+4=7+2$\sqrt{3}$，
∴QP=2QR=14+4$\sqrt{3}$．
故答案为：14+4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了勾股定理和含30度角的直角三角形以及全等三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度较大，正确运用三角函数以及勾股定理是解决本题的关键．