Question

8．（1）如图1，已知，AB∥CD，EF分别交AB、CD于点E、F，EG、EH分别平分∠AEF、∠BEF交CD于G、H，则EG与EH的位置关系是垂直，∠EGH与∠EHG关系是互余；
（2）如图2，已知：AB∥CD∥EF，BE、DE分别平分∠ABD、∠BDC，求证：BE⊥ED．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线定义得出∠GEF=$\frac{1}{2}$∠AEF，∠HEF=$\frac{1}{2}$∠BEF，求出∠GEF+∠HEF=90°，即可得出答案；
（2）根据平行线的性质得出∠ABD+∠BDC=180°，根据角平分线定义得出∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABD，∠CDE=$\frac{1}{2}$∠BDC，根据平行线的性质得出∠ABE=∠BEF，∠FED=∠CDE，求出∠BED=90°即可．

解答 （1）解：EG与EH垂直，∠EGH与∠EHG互余，
理由是：∵EG、EH分别平分∠AEF、∠BEF，
∴∠GEF=$\frac{1}{2}$∠AEF，∠HEF=$\frac{1}{2}$∠BEF，
∵∠AEF+∠BEF=180°，
∴∠GEF+∠HEF=90°，
∴EG与EH垂直，∠EGH与∠EHG互余，
故答案为：垂直，互余；

（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
又∵BE、DE分别平分∠ABD、∠BDC，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABD，∠CDE=$\frac{1}{2}$∠BDC，
∵AB∥CD∥EF，
∴∠ABE=∠BEF，∠FED=∠CDE，
∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠ABE+∠CDE=$\frac{1}{2}$∠ABD+$\frac{1}{2}$∠BDC
=$\frac{1}{2}$（∠ABD+∠BDC）
=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴BE⊥ED．

点评 本题考查了平行线的性质和角平分线定义的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键，注意：两直线平行，同旁内角互补．