(1)问题情境:如图1.在正方形ABCD中.E.F.G.H分别为AB.BC.CD.DA边上的动点.连接EG.HF相交于点O.且∠HOE=∠ADC．试探究:EG与FH的数量关系.并说明理由．(2)拓展延伸:如图2.在菱形ABCD中.E.F.G.H分别为AB.BC.CD.DA边上的动点.连接EG.HF相交于点O.且∠HOE=∠ADC.试探究:(1)中EG与FH的数量关系还� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．（1）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为AB，BC，CD，DA边上的动点，连接EG，HF相交于点O，且∠HOE=∠ADC．试探究：EG与FH的数量关系，并说明理由．

（2）拓展延伸：如图2，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别为AB，BC，CD，DA边上的动点，连接EG，HF相交于点O，且∠HOE=∠ADC，试探究：（1）中EG与FH的数量关系还成立吗？并说明理由．
（3）反思提升：若将（2）中的菱形ABCD改为平行四边形ABCD（如图3），AB=a，AD=b，其他条件不变，则$\frac{EG}{FH}$=$\frac{b}{a}$的猜想正确吗？请说明理由．

分析（1）过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，由正方形的性质和矩形的性质易得GM=HN，再利用四边形的内角和为360°，可得∠DHO+∠DGE=360°-90°-90°=180°，易得∠HFN=∠GEM，由AAS定理可证得△GME≌△HNF，利用全等三角形的性质可得结论；
（2）过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，由菱形的性质可得DC=AB=BC，AD∥BC，DC∥AB，利用菱形的面积公式易得GM=HN，由AAS定理，易证得△GME≌△HNF，又全等三角形的性质可得结论；
（3）过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，利用平行四边形的性质和面积公式可得$\frac{GM}{HN}=\frac{b}{a}$，易得△GME∽△HNF，利用相似三角形的性质可得猜想正确．

解答（1）解：EG=FH
理由是：如图1，过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠A=∠B=∠C=90°，
又∵GM⊥AB，HN⊥BC
∴四边形ADGM、四边形AHNB是矩形，
∴HN=AB，AD=GM，
∴HN=GM，
∵∠ADC=∠HOE=90°，
∴∠DHO+∠DGE=360°-90°-90°=180°，
∵AD∥BC，DC∥AB，
∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，
∴∠HFN=∠GEM，
∵HN⊥BC，GM⊥AB，
∴∠GME=∠HNF=90°，
在△GME和△HNF中$\left\{\begin{array}{l}{∠GEM=∠HFN}\\{∠GME=∠HNF}\\{GM=HN}\end{array}\right.$，
∴△GME≌△HNF（AAS），
∴EG=FH；

（2）EG=FH，
理由是：如图2，过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC=AB=BC，AD∥BC，DC∥AB，
∵菱形ABCD的面积S=AB×GM=BC×HN，
∴GM=HN，
∵GM⊥AB，HN⊥BC，
∴∠GME=∠HNF=90°，
∵∠ADC=∠HOE，
∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°
∴∠DHO+∠DGE=360°-180°=180°，
∵AD∥BC，DC∥AB，
∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，
∴∠HFN=∠GEM，
在△GME和△HNF中$\left\{\begin{array}{l}{∠GEM=∠HFN}\\{∠GME=∠HNF}\\{GM=HN}\end{array}\right.$，
∴△GME≌△HNF（AAS），
∴EG=FH；

（3）正确．
理由是：如图3，过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∵平行四边形ABCD的面积S=AB×GM=BC×HN
∵AB=a，AD=b，
∴$\frac{GM}{HN}=\frac{b}{a}$，
∵GM⊥AB，HN⊥BC，
∴∠GME=∠HNF=90°，
∵∠ADC=∠HOE，
∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°，
∴∠DHO+∠DGE=360°-180°=180°，
∵AD∥BC，DC∥AB，
∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，
∴∠HFN=∠GEM，
∴△GME∽△HNF，
∴$\frac{EG}{FH}=\frac{GM}{HN}=\frac{b}{a}$．

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