题目内容
已知二次函数L1：y1=x2+6x+5k和L2：y2=kx2+6kx+5k，其中k≠0，1．
（1）写出有关二次函数L1和L2两条共有的性质结论．
（2）若两条抛物线L1和L2相交于点E，F，当k的值发生变化时，请判断线段EF的长度是否发生变化，并说明理由．
（3）在（2）中，若二次函数L1 的顶点为M，二次函数L2的顶点为N．
①当k为何值时是，点M与N关于直线EF对称？
②是否存在实数k，使得MN=2EF？如果存在，求出实数k；如果不存在，请说明理由．
（1）写出有关二次函数L1和L2两条共有的性质结论．
（2）若两条抛物线L1和L2相交于点E，F，当k的值发生变化时，请判断线段EF的长度是否发生变化，并说明理由．
（3）在（2）中，若二次函数L1 的顶点为M，二次函数L2的顶点为N．
①当k为何值时是，点M与N关于直线EF对称？
②是否存在实数k，使得MN=2EF？如果存在，求出实数k；如果不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：综合题
分析：（1）只需从二次函数的对称轴、与y轴的交点等角度考虑就可解决问题；
（2）可令y1=y2，求出点E、F的横坐标，从而得到点E、F的坐标，进行得到EF的长，就可解决问题；
（3）易得点M、N的坐标及直线EF的关系式，然后根据条件建立关于k的方程，就可解决问题．
（2）可令y1=y2，求出点E、F的横坐标，从而得到点E、F的坐标，进行得到EF的长，就可解决问题；
（3）易得点M、N的坐标及直线EF的关系式，然后根据条件建立关于k的方程，就可解决问题．
解答：解：（1）二次函数L1和L2两条共有的性质是：
①它们的对称轴相同，都是x=-3，
②它们的图象与y轴的交点都是（0，5k）；
（2）线段EF的长度不发生变化．
理由：当y1=y2时，x2+6x+5k=kx2+6kx+5k，
整理得：（k-1）（x2+6x）=0．
∵k≠1，∴x2+6x=0，
解得：x1=0，x2=-6．
不妨设点E在点F的左边，
则点E的坐标为（-6，5k），点F的坐标为（0，5k），
∴EF=|0-（-6）|=6，
∴线段EF的长度不发生变化．
（3）①由y1=x2+6x+5k=（x+3）2+5k-9得M（-3，5k-9），
由y2=kx2+6kx+5k=k（x+3）2-4k得N（-3，-4k）．
∵直线EF的关系式为y=5k，且点M与N关于直线EF对称，
∴-4k-5k=5k-（5k-9），
解得：k=-1，
∴当k为-1时，点M与N关于直线EF对称．
②∵MN=|（5k-9）-（-4k）|=|9k-9|，MN=2EF=12，
∴|9k-9|=12，
解得k1=
，k2=-
，
∴实数k为
或-
．
①它们的对称轴相同，都是x=-3，
②它们的图象与y轴的交点都是（0，5k）；
（2）线段EF的长度不发生变化．
理由：当y1=y2时，x2+6x+5k=kx2+6kx+5k，
整理得：（k-1）（x2+6x）=0．
∵k≠1，∴x2+6x=0，
解得：x1=0，x2=-6．
不妨设点E在点F的左边，
则点E的坐标为（-6，5k），点F的坐标为（0，5k），
∴EF=|0-（-6）|=6，
∴线段EF的长度不发生变化．
（3）①由y1=x2+6x+5k=（x+3）2+5k-9得M（-3，5k-9），
由y2=kx2+6kx+5k=k（x+3）2-4k得N（-3，-4k）．
∵直线EF的关系式为y=5k，且点M与N关于直线EF对称，
∴-4k-5k=5k-（5k-9），
解得：k=-1，
∴当k为-1时，点M与N关于直线EF对称．
②∵MN=|（5k-9）-（-4k）|=|9k-9|，MN=2EF=12，
∴|9k-9|=12，
解得k1=
| 7 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴实数k为
| 7 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
点评：本题主要考查了二次函数的性质、解一元二次方程、轴对称的性质、解绝对值方程等知识，需要注意的是当两点横坐标相同时，两点之间的距离应为这两点纵坐标差的绝对值．
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| C、从2009年到2012年，每年绿地面积的增长率都在增长 |
| D、从2009年到2012年，每年的绿地面积都在增长 |
