Question

如图，正方形ABCD中，AC为对角线，E、F分别是边AB、AD上的两点，且CE=CF．
（1）求证：AE=AF；
（2）若tan∠ACF=

1

2

，求tan∠BCE的值．

Answer 1

分析：（1）先证出△EBC≌△EFC，再证出△AFC≌△AEC，即可证出AE=AF；
（2）作EG⊥AC，构造直角三角形，设出EG的长，再根据勾股定理和三角函数用含x的代数式表示出△EBC的各边长．

解答：解：（1）在Rt△EBC和Rt△FDC中，
CE=CF，CD=CB，
所以△EBC≌△EFC，
所以∠BEC=∠DFC，
所以∠AEC=180°-∠BEC，
∠AFC=180°-∠DFC，
于是∠AEC=∠AFC，
又因为∠EAC=∠FAC，AC=AC，
所以△AFC≌△AEC，
所以AE=AF．

（2）连接BG．
设EG=x，则AG=x．
因为∠ACF=∠ACE，
所以tan∠ACF=tan∠ACE=

1

2

，
所以GC=2x，
AC=x+2x=3x．
根据勾股定理，AE=

x2+x2

=

2

x，
AB=BC=AC•cos45°=3x•

2

2

=

3 2

2

x．
故EB=AB-AE=

3 2

2

x-

2

x=

2

2

x．
则tan∠BCE=

EB

BC

=

2 2 x

3 2 2 x

=

1

3

．

点评：此题考查了正方形的性质、解直角三角形和勾股定理等知识，综合性较强，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．