题目内容
如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=
x+1分别交x轴、y轴于点A、点B．点C从点B出发，沿着y轴正方向作匀速运动，同时点D也从点B出发，在直线l上沿着AB方向匀速运动．连接CD，以BC、CD为边构造平行四边形BCDE．设点C的运动速度为v1，点D的运动速度为v2．
（1）当点C在（0，4）处，点E恰好落在x轴上，点D的坐标为 ；
（2）当点C的运动速度v1=1，点D的运动速度v2=
时，请判断平行四边形的形状BCDE，并说明理由；
（3）在C、D两点的运动过程中，当v1，v2满足什么关系时，平行四边形BCDE会成为菱形？
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（1）当点C在（0，4）处，点E恰好落在x轴上，点D的坐标为
（2）当点C的运动速度v1=1，点D的运动速度v2=
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（3）在C、D两点的运动过程中，当v1，v2满足什么关系时，平行四边形BCDE会成为菱形？
考点：一次函数综合题
专题：压轴题
分析：（1）利用直线解析式求出A、B的坐标，再求出BC，然后根据平行四边形对边相等可得DE=BC，再代入直线解析式求出点D的横坐标，即可得解；
（2）利用勾股定理列式求出AB，然后根据两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似求出△ABO和△DBC相似，再根据相似三角形对应角相等可得∠DCB=∠AOB，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答；
（3）根据菱形的性质可得BC=CD，再根据等腰三角形三线合一的性质和∠DBC的余弦列出等式，然后化简即可．
（2）利用勾股定理列式求出AB，然后根据两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似求出△ABO和△DBC相似，再根据相似三角形对应角相等可得∠DCB=∠AOB，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答；
（3）根据菱形的性质可得BC=CD，再根据等腰三角形三线合一的性质和∠DBC的余弦列出等式，然后化简即可．
解答：解：（1）令y=0，则
x+1=0，解得x=-2，
令x=0，则y=1，
所以，点A（-2，0），B（0，1），
∵点C（0，4），
∴BC=4-1=3，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴DE=BC=3，
∴点D的纵坐标是3，
当y=3时，
x+1=3，
解得x=4，
所以，点D的坐标为（4，3）；
故答案为：（4，3）；
（2）平行四边形BCDE是矩形．
理由如下：∵A（-2，0），B（0，1），
∴OA=2，OB=1，
由勾股定理得，AB=
=
=
，
∴
=
=
，
∵点C的运动速度v1=1，点D的运动速度v2=
，
∴
=
，
∴
=
，
又∵∠ABO=∠DBC（对顶角相等），
∴△ABO∽△DBC，
∴∠DCB=∠AOB=90°，
∴平行四边形BCDE是矩形；
（3）∵平行四边形BCDE为菱形，
∴BC=CD，
∴cos∠DBC=
=
，
∵cos∠ABO=
=
，∠DBC=∠ABO（对顶角相等），
∴
=
，
∴v1=
v2，
故v1=
v2时，平行四边形BCDE会成为菱形．
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令x=0，则y=1，
所以，点A（-2，0），B（0，1），
∵点C（0，4），
∴BC=4-1=3，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴DE=BC=3，
∴点D的纵坐标是3，
当y=3时，
| 1 |
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解得x=4，
所以，点D的坐标为（4，3）；
故答案为：（4，3）；
（2）平行四边形BCDE是矩形．
理由如下：∵A（-2，0），B（0，1），
∴OA=2，OB=1，
由勾股定理得，AB=
| OA2+OB2 |
| 22+12 |
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∴
| AB |
| OB |
| ||
| 1 |
| 5 |
∵点C的运动速度v1=1，点D的运动速度v2=
| 5 |
∴
| BD |
| BC |
| 5 |
∴
| AB |
| OB |
| BD |
| BC |
又∵∠ABO=∠DBC（对顶角相等），
∴△ABO∽△DBC，
∴∠DCB=∠AOB=90°，
∴平行四边形BCDE是矩形；
（3）∵平行四边形BCDE为菱形，
∴BC=CD，
∴cos∠DBC=
| ||
| v1 |
| v2 |
| 2v1 |
∵cos∠ABO=
| OB |
| AB |
| 1 | ||
|
∴
| v2 |
| 2v1 |
| 1 | ||
|
∴v1=
| ||
| 2 |
故v1=
| ||
| 2 |
点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的对边平行且相等，矩形的判定，菱形的性质和锐角三角函数，难点在于（3）根据对顶角的余弦相等列出方程．
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