Question

如图，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠EAB=∠CAD=90°，下列五个结论：①EC=BD；②EC⊥BD；③S_{四边形EBCD}=EC•BD；④S_△ADE=S_△ABC；⑤△EBF∽△DCF；其中正确的有（ ）

A．①②④⑤
B．①②③④
C．①②③⑤
D．①②③④⑤

Answer 1

【答案】分析：①利用边角边可以证明△EAC≌△BAD，得到EC=BD．②利用①的结论，有∠AEC=∠ABD，而∠FEB+∠FBE=∠AEB-∠AEC+∠ABE+
∠ABD=45°-∠AEC+45°+∠ABD=90°，所以EC⊥BD．③根据②的结论，EC⊥BD，可以得到S_{四边形EBCD}=EC•BD．④因为
∠EAD+∠BAC=180°，sin∠EAD=sin∠BAC，所以S_△ADE=S_△ABC．⑤因为两个等腰直角三角形的腰不一定相等，所以∠AEC≠∠ADB，所以∠BEF≠∠CDF，∠EBF≠∠DCF，因此不能判定△EBF与△DCF相似．
解答：解：①∵AE=AB，∠EAC=∠BAD=90°+∠BAC，AC=AD，
∴△AEC≌△ABD，
∴EC=BD．故①正确．
②由①知：△AEC≌△ABD，
∴∠AEC=∠ABD，
∠FEB+∠FBE=∠AEB-∠AEC+∠ABE+∠ABD=45°-∠AEC+45°+∠ABD=90°，
∴∠EFB=90°
∴EC⊥BD．故②正确．
③由②知：EC⊥BD，
∴S_{四边形EBCD}=S_△ECB+S_△ECD=EC•BF+EC•DF=EC（BF+DF）=EC•BD．故③正确．
④根据图形可知：∠EAD+∠BAC=180°，
∴sin∠EAD=sin∠BAC，
S_△ADE=AE•AD•sin∠EAD，
S_△ABC=AB•AC•sin∠BAC，
∴S_△ADE=S_△ABC．故④正确．
⑤∵AB≠AD，∴∠ABD≠∠ADB，
而∠FEB=45°-∠AEC=45°-∠ABD，
∠FDC=45°-∠ADC，
∴∠FEB≠∠FDC，
同理，∠FBE≠∠FCD
∴不能判定△EBF与△DCF，故⑤错误．
故选B．
点评：本题考查的是相似三角形的判定，①利用边角边证明三角形全等．②利用①的结论和等腰直角三角形证明．③利用三角形的面积公式计算．④利用三角形的面积公式计算．⑤利用三角形相似的判断定理判定．