Question

23、如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：由于条件可知AD=AC，BC=ED，且可求得∠ACE=∠DCB，所以△ACE≌△DCB，即AE=BD，∠CAE=∠CDB；又因为对顶角相∠AFC=∠DFH，所以∠DHF=∠ACD=90°，即AE⊥BD．

解答：解：猜测AE=BD，AE⊥BD；（2分）
理由如下：
∵∠ACD=∠BCE=90°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，（3分）
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
∴AC=CD，CE=CB，（4分）
∴△ACE≌△DCB（SAS），（5分）
∴AE=BD，（6分）∠CAE=∠CDB；（7分）
∵∠AFC=∠DFH，又∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠DHF=∠ACD=90°，（8分）
∴AE⊥BD．（9分）
故线段AE和BD的数量相等，位置是垂直关系．

点评：此题主要考查全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形的性质及对顶角的性质等知识点．