Question

已知过原点O的两直线与圆心为M（0，4），半径为2的圆相切，切点分别为P、Q，PQ交y轴于点K，抛物线经过P、Q两点，顶点为N（0，6），且与x轴交于A、B两点．

（1）求点P的坐标；

（2）求抛物线解析式；

（3）在直线y=nx+m中，当n=0，m≠0时，y=m是平行于x轴的直线，设直线y=m与抛物线相交于点C、D，当该直线与⊙M相切时，求点A、B、C、D围成的多边形的面积（结果保留根号）．

Answer 1

解：（1）如图1，

∵⊙M与OP相切于点P，

∴MP⊥OP，即∠MPO=90°．

∵点M（0，4）即OM=4，MP=2，

∴OP=2．

∵⊙M与OP相切于点P，⊙M与OQ相切于点Q，

∴OQ=OP，∠POK=∠QOK．

∴OK⊥PQ，QK=PK．

∴PK===．

∴OK==3．

∴点P的坐标为（，3）．

（2）如图2，

设顶点为（0，6）的抛物线的解析式为y=ax²+6，

∵点P（，3）在抛物线y=ax²+6上，

∴3a+6=3．

解得：a=﹣1．

则该抛物线的解析式为y=﹣x²+6．

（3）当直线y=m与⊙M相切时，

则有=2．

解得；m₁=2，m₂=6．

①m=2时，如图3，

则有OH=2．

当y=2时，解方程﹣x²+6=2得：x=±2，

则点C（2，2），D（﹣2，2），CD=4．

同理可得：AB=2．

则S_梯形ABCD=（DC+AB）•OH=（4+2）×2=4+2．

②m=6时，如图4，

此时点C、点D与点N重合．

S_△ABC=AB•OC=×2×6=6．

综上所述：点A、B、C、D围成的多边形的面积为4+2或6．