Question

4．若（x-$\frac{1}{x}$）²=$\frac{9}{4}$，则x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$=±$\frac{15}{4}$．

Answer 1

分析 两边开方求出x-$\frac{1}{x}$，展开求出x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$，根据完全平方公式求出（x+$\frac{1}{x}$）²，求出x+$\frac{1}{{x}^{2}}$，最后根据平方差公式分解，代入即可求出答案．

解答 解：∵（x-$\frac{1}{x}$）²=$\frac{9}{4}$，
∴x-$\frac{1}{x}$=±$\frac{3}{2}$，x²-2•x•$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{9}{4}$，
∴x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{17}{4}$，
∴（x+$\frac{1}{x}$）²=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+2=$\frac{25}{4}$，
∴x+$\frac{1}{x}$=$±\frac{5}{2}$，
当x-$\frac{1}{x}$=$\frac{3}{2}$，x+$\frac{1}{x}$=$\frac{5}{2}$时，x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x+$\frac{1}{x}$）（x-$\frac{1}{x}$）=$\frac{15}{4}$；
当x-$\frac{1}{x}$=$\frac{3}{2}$，x+$\frac{1}{x}$=-$\frac{5}{2}$时，x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x+$\frac{1}{x}$）（x-$\frac{1}{x}$）=-$\frac{15}{4}$；
当x-$\frac{1}{x}$=-$\frac{3}{2}$，x+$\frac{1}{x}$=$\frac{5}{2}$时，x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x+$\frac{1}{x}$）（x-$\frac{1}{x}$）=-$\frac{15}{4}$；
当x-$\frac{1}{x}$=-$\frac{3}{2}$，x+$\frac{1}{x}$=-$\frac{5}{2}$时，x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x+$\frac{1}{x}$）（x-$\frac{1}{x}$）=$\frac{15}{4}$；
故答案为：±$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了完全平方公式和平方差公式，能熟练地运用公式进行变形是解此题的关键．