Question

一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m²，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图1，乙设计方案如图2．你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由．（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）

Answer 1

分析：利用正方形的对边平行．寻找相似三角形，由“相似三角形对应边的比，等于对应边上高的比”的性质，列出等量关系，计算正方形的边长x、y，比较大小，选择合理方案．

解答：解：由AB=1.5m，S_△ABC=1.5m²，可得BC=2m，
由图1，若设甲设计的正方形桌面边长为xm，
由DE∥AB，得Rt△CDE∽Rt△CBA，
∴

x

AB

=

BC-x

BC

，即

x

1.5

=

2-x

2

，
∴3-1.5x=2x，x=

3

3.5

=

6

7

，
由图2，过点B作Rt△ABC斜边AC上的高，
BH交DE于P，交AC于H．
由AB=1.5m，BC=2m，
得AC=

AB2+BC2

=

1.52+22

=2.5（m），
由AC•BH=AB•BC可得，
BH=

AB•BC

AC

=

1.5×2

2.5

=1.2m，
设乙设计的桌面的边长为ym，
∵DE∥AC，
∴Rt△BDE∽Rt△BAC，
∴

BP

BH

=

DE

AC

，
即

1.2-y

1.2

=

y

2.5

，解得y=

30

37

，
∵

6

7

=

30

35

＞

30

37

，
∵x²＞y²，
∴甲同学设计的方案较好．

点评：本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．