Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+bx+c经过点（1，﹣1），且对称轴为在线x=2，点P、Q均在抛物线上，点P位于对称轴右侧，点Q位于对称轴左侧，PA垂直对称轴于点A，QB垂直对称轴于点B，且QB=PA+1，设点P的横坐标为m．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）求点Q的坐标（用含m的式子表示）；

（3）请探究PA+QB=AB是否成立，并说明理由；

（4）抛物线y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0）经过Q、B、P三点，若其对称轴把四边形PAQB分成面积为1：5的两部分，直接写出此时m的值．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c经过点（1，﹣1），且对称轴为在线x=2，

∴，

解得．

∴这条抛物线所对应的函数关系式y=x²﹣4x+2；

 

（2）∵抛物线上点P的横坐标为m，

∴P（m，m²﹣4m+2），

∴PA=m﹣2，

QB=PA+1=m﹣2+1=m﹣1，

∴点Q的横坐标为2﹣（m﹣1）=3﹣m，

点Q的纵坐标为（3﹣m）²﹣4（3﹣m）+2=m²﹣2m﹣1，

∴点Q的坐标为（3﹣m，m²﹣2m﹣1）；

 

（3）PA+QB=AB成立．

理由如下：∵P（m，m²﹣4m+2），Q（3﹣m，m²﹣2m﹣1），

∴A（2，m²﹣4m+2），B（2，m²﹣2m﹣1），

∴AB=（m²﹣2m﹣1）﹣（m²﹣4m+2）=2m﹣3，

又∵PA=m﹣2，QB=m﹣1，

∴PA+QB=m﹣2+m﹣1=2m﹣3，

∴PA+QB=AB；

 

（4）∵抛物线y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0）经过Q、B、P三点，

∴抛物线y=a₁x²+b₁x+c₁的对称轴为QB的垂直平分线，

∵对称轴把四边形PAQB分成面积为1：5的两部分，

∴××=×（2m﹣3）×（2m﹣3），

整理得，（2m﹣3）（m﹣3）=0，

∵点P位于对称轴右侧，

∴m＞2，

∴2m﹣3≠0，

∴m﹣3=0，

解得m=3．