Question

23、如图所示，已知P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，以点B为旋转中心，将△ABP顺时针方向旋转，使点A与点C重合，这时P点旋转到G点，
（1）请画出旋转后的图形，你能说出此时△ABP以点B为旋转中心转了多少度吗？
（2）求证：△PGC是直角三角形．

Answer 1

分析：（1）根据旋转中心，旋转方向，旋转后的位置，画出图形，求出旋转角度数；
（2）由旋转的性质可得可得：△ABP≌△CBG，旋转角∠PBG=90°，BP=BG=2，先求PG，在△PCG中，已知PC=3，CG=AP=1，利用勾股定理的逆定理证明△PGC是直角三角形．

解答：（1）解：图形如下，旋转角为90°；

（2）证明：由已知可得：△ABP≌△CBG，
∴BP=BG，∠ABP=∠CBG，
CG=AP=1，
又在正方形ABCD中，
∠ABC=90°，
即∠ABP+∠PBC=90°，
∴∠CBG+∠PBC=90°，
∴∠PBG=90°，
∴在Rt△PBG中，PG²=BP²+BG²=8，
又∵GC²=1²=1，PC²=3²=9，
∴PC²=PG²+GC²，
∴△PGC是直角三角形．

点评：本题考查旋转的性质--旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变；以及勾股定理的逆定理的运用．