Question

已知AB是⊙O的直径，AD与⊙O相交，点C是⊙O上一点，经过点C的直线交AD于点E，如图．若CE是⊙O的切线，AC平分∠BAD，AB=8，AC=6．求AD的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：连接OC，BC，首先证明AD∥OC，即可证得∠D=90°，然后证明△DAC∽△CAB，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．

解答：解：连接OC，BC．
∵CE是圆的切线，
∴OC⊥CD，
∵AC平分∠BAD，即∠DAC=∠CAE，
又∵OA=OC，
∴∠CAE=∠ACO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD∥OC，
∴AD⊥DC，即∠D=∠OCE，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠D=∠ACB，
又∵∠DAC=∠CAE，
∴△DAC∽△CAB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，即

AD

6

=

6

8

，
解得：AC=

9

2

．

点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质，证明△DAC∽△CAB是关键．