Question

如图1，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3。

（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积；
（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B 重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯形为DEFH′（如图2）。
探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由；
探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠部分的面积为y，求y与t的函数关系。

Answer 1

解：（1）∵AH∶AC=2∶3，AC=6， ∴AH=AC=×6=4， 又∵HF∥DE， ∴HG∥CB， ∴△AHG∽△ACB， ∴，即， ∴HG=， ∴； （2）①能为正方形； ∵HH′∥CD，HC∥H′D， ∴四边形CDH′H为平行四边形， 又∠C=90°， ∴四边形CDH′H为矩形， 又CH=AC-AH=6-4=2， ∴当CD=CH=2时，四边形CDH′H为正方形， 此时可得t=2秒时，四边形CDH′H为正方形； ②（Ⅰ）∵∠DEF=∠ABC， ∴EF∥AB， ∴当t=4秒时，直角梯形的腰EF与BA重合， 当0≤t≤4时，重叠部分的面积为直角梯形DEFH′的面积， 过F作FM⊥DE于M，=tan∠DEF=tan∠ABC=， ∴ME=FM=×2=，HF=DM=DE-ME=4-=， ∴直角梯形DEFH′的面积为（4+）×2=， ∴y=； （Ⅱ）∵当4＜t≤5时，重叠部分的面积为四边形CBGH的面积-矩形CDH′H的面积， 而S四边形CBGH=S△ABC-S△AHG=×8×6-=， S矩形CDH′H=2t， ∴y=-2t； （Ⅲ）当5＜t≤8时，如图，设H′D交AB于P，BD=8-t， 又， ∴PD=DB=（8-t）， ∴重叠部分的面积y=S， △PDB=PD·DB=·（8-t）（8-t）=（8-t）2=t2-6t+24， ∴重叠部分面积y与t的函数关系式： 。