Question

如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线BD上一动点（P与B、D不重合），∠APE=90°，且点E在BC边上，AE交BD于点F．
（1）求证：①△PAB≌△PCB；②PE=PC；
（2）在点P的运动过程中，

AP

AE

的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，请说明理由；
（3）设DP=x，当x为何值时，AE∥PC，并判断此时四边形PAFC的形状．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据四边形ABCD是正方形，得出AB=BC，∠ABP=∠CBP°，再根据PB=PB，即可证出△PAB≌△PCB，
②根据∠PAB+∠PEB=180°，∠PEC+∠PEB=180°，得出∠PEC=∠PCB，从而证出PE=PC；
（2）根据PA=PC，PE=PC，得出PA=PE，再根据∠APE=90°，得出∠PAE=∠PEA=45°，即可求出

AP

AE

；
（3）先求出∠CPE=∠PEA=45°，从而得出∠PCE，再求出∠BPC即可得出∠BPC=∠PCE，从而证出BP=BC=1，x=

2

-1，再根据AE∥PC，得出∠AFP=∠BPC=67.5°，由△PAB≌△PCB得出∠BPA=∠BPC=67.5°，PA=PC，从而证出AF=AP=PC，得出答案．

解答：解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABP=∠CBP=

1

2

∠ABC=45°．
∵PB=PB，
∴△PAB≌△PCB （SAS）．
②由△PAB≌△PCB可知，∠PAB=∠PCB．
∵∠ABE=∠APE=90°，
∴∠PAB+∠PEB=180°，
又∵∠PEC+∠PEB=180°，
∴∠PEC=∠PAB=∠PCB，
∴PE=PC．

（2）在点P的运动过程中，

AP

AE

的值不改变．
由△PAB≌△PCB可知，PA=PC．
∵PE=PC，
∴PA=PE，
又∵∠APE=90°，
∴△PAE是等腰直角三角形，∠PAE=∠PEA=45°，
∴

AP

AE

=

2

2

．

（3）∵AE∥PC，
∴∠CPE=∠PEA=45°，
∴在△PEC中，∠PCE=∠PEC=

1

2

（180°-45°）=67.5°．
在△PBC中，
∠BPC=（180°-∠CBP-∠PCE）=（180°-45°-67.5°）=67.5°．
∴∠BPC=∠PCE=67.5°，
∴BP=BC=1，
∴x=BD-BP=

2

-1．
∵AE∥PC，
∴∠AFP=∠BPC=67.5°，
由△PAB≌△PCB可知，∠BPA=∠BPC=67.5°，PA=PC，
∴∠AFP=∠BPA，
∴AF=AP=PC，
∴四边形PAFC是菱形．

点评：此题考查了四边形综合，用到的知识点是等腰三角形和全等三角形的判定与性质、菱形的判定，关键是综合运用有关性质进行证明和计算，得出有关结论．