Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE⊥BC于点E，且DE=1，AD=4，∠B=45°．
（1）直接写出BC的长；
（2）直线AB以每秒0.5个单位的速度向右平移，交AD于点P，交BC于点Q，则当直线AB的移动时间为多少秒，形成的四边形ABQP恰好为菱形？（结果精确到0.01秒）；
（3）AB移动方向、速度如同第（2）题，移动时间为t秒，求经过t秒，AB扫过梯形ABCD的面积S．（用含t的代数式表示，直接写出答案即可）

Answer 1

解：（1）AB=CD知∠B=∠C=45°，
∴EC=DE=1
∴BC=2CE+AD=2×1+4=6

（2）当四边形ABQP恰好为菱形时，
∴BQ=AB
∵AB=DE=
∴移动时间为以÷0.5≈1.414÷0.5≈2.83；

（3）当移动t秒时，PD=4-0.5t，QC=6-0.5t
∴s=S_梯形ABCD-S_梯形PQCD
=（4+6）×1-（4-0.5t+6-0.5t）×1
=5-5+t
=t（0≤t≤8），
当8＜t≤12时，s=S_梯形ABCD-S_△PQC，
=（4+6）×1-（6-0.5t）×1
=2+t．
分析：（1）由AB=CD知∠B=∠C=45°，所以EC=DE=1、BC=2CE+AD=2×1+4=6；
（2）当四边形ABQP恰好为菱形时，BQ=AB=，所以÷0.5≈1.414÷0.5≈2.83；
（3）当移动t秒时，PD=4-0.5t，QC=6-0.5t，所以AB扫过梯形ABCD的面积S为梯形ABCD的面积减去梯形PQDC的面积．
点评：本题考查了等腰梯形的性质、解直角三角形、动点问题等好几方面的知识，是一道不错的综合题．