Question

【题目】已知，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝，BC＝3，在BC边上取两点E，F（点E在点F左侧），以EF为边作等边三角形DEF，使顶点D与E在边AC异侧，DE，DF分别交AC于点G，H，连结AD.

（1）如图1，求证：DE⊥AC；

（2）如图2，若∠DAC＝30°，△DEF的边EF在线段BC上移动.写出DH与BE的数量关系并证明；

（3）若30°＜∠DAC＜60°，△DEF的周长为m，则m的取值范围是 .

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DH与BE的数量关系是：DH﹣BE＝1，理由见解析；（3）6＜m＜9

【解析】

（1）先判断出∠C＝30°，再利用等边三角形的性质即可得出结论；

（2）先判断出AD∥BC，进而判断出四边形ABEN是矩形，再用锐角三角函数求出ND＝1，即可得出结论；

（3）先求出∠DAC＝30°和60°时的等边三角形的边DE的长，即可得出结论.

解：（1）在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝，BC＝3，

∴tan∠C＝

∴∠C＝30°

∵△DEF是等边三角形

∴∠DEF＝60°

∴∠EGC＝90°

∴DE⊥AC

（2）DH与BE的数量关系是：DH﹣BE＝1

理由：如图1，∵△DEF是等边三角形

∴∠DFE＝∠DEF＝60°

∵∠DFE＝∠C+∠CHF，∠C＝30°

∴∠CHF＝30°

∴∠DHA＝30°

∵∠DAC＝30°

∴∠DHA＝∠DAC

∴DA＝DH

过点E作EN⊥AD于N，则∠ANE＝90°，

∵∠DAC＝∠C＝30°

∴AD‖BC

∴∠BEN＝90

又∵∠B＝90°

∴四边形ABEN是矩形

∴AN＝BE，AB＝EN＝

∵AD‖BC

∴∠DEF＝∠NDE＝60°

∴tan∠NDE═tan60°＝

∴ND＝1

∵AD﹣AN＝ND，DA＝DH，AN＝BE

∴DH﹣BE＝1，

（3）当∠DAC＝30°时，平移DE，使其过点B时，如图2，

∵∠BAC＝60°，

∴∠BAD＝90°，

∵∠ABC＝90°，

∵△DEF是等边三角形，

∴∠DBC＝60°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠ABD＝30°，

在Rt△ABD中，AB＝，∠ABD＝30°，

∴DE＝DB＝2，

由于∠ABD不变，∠DAC增加时，∠BAD增加，即：DE增加，

∵∠DAC＞30°，

∴DE＞2，

∴m＞2×3，

即：m＞6，

当∠DAC＝60°时，平移DE，使其过点B时，如图3，

∵∠BAC＝60°，

∴∠BAD＝120°，

∵△DEF是等边三角形，

∴∠DBC＝60°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠ABD＝30°，

∴∠ADB＝30°＝∠ABD，

∴AC⊥BD，BD＝2BG，

在Rt△ABG中，AB＝，∠ABD＝30°，

∴BG＝，

∴DE＝BD＝2BG＝3，

∵BC＝3，

此时点F和点C重合，

由于∠ABD不变，∠DAC减小时，∠BAD减小，即：DE减小，

∵∠CAD＜60°，

∴DE＜3，

∴m＜3×3，

∴m＜9，

即：m的取值范围是：6＜m＜9，

故答案为：6＜m＜9.