Question

17．如图，正方形ABCD的边长是5，圆D的半径是3，在圆D上任取一点P，连接AP，将AP顺时针旋转90°到AP′，连接BP′．
发现：不论点P在圆D上的什么位置，BP′的大小不变，BP′的长是3．
思考：（1）△APD的最大面积是7.5；点P与P′之间的最小距离是2$\sqrt{2}$；当点P与点B之间的距离最大时，∠CBP′的度数是45°．
探究：当AP与圆D相切时，求△CDP′的面积．

Answer 1

分析 发现：连接DP，由旋转的性质得：AP'=AP，∠PAP'=90°，由正方形的性质得出BC=AB=AD=5，∠BAD=90°，证出∠BAP'=∠DAP，由SAS证明△ABP'≌△ADP，得出BP'=DP=3即可；
思考：当PD⊥AD时，△APD的面积最大=$\frac{1}{2}$×5×3=7.5；当P在AD上时，PP'最小，此时P'在AB上，AP'=AP=2，由勾股定理得出PP'=2$\sqrt{2}$；当点P在射线BD上时，点P与点B之间的距离最大，此时∠ABP'=∠ADP=135°，求出∠CBP'°=45°即可；
探究：分两种情况：①如图所示：连接DP、DP'、CP'，过点P'作AB的垂线，交AB于F，交CD于E，则EF⊥CD，EF=BC=5，由切线的性质得出∠APD=90°，由发现得：△ABP'≌△ADP，得出∠AP'B=∠APD=90°，由勾股定理得出AP'=AP=$\sqrt{A{D}^{2}-D{P}^{2}}$=4，在Rt△ABP'中，由三角形面积求出P'F=$\frac{12}{5}$，得出P'E=$\frac{13}{5}$，即可求出△CDP'的面积；
②如图所示：DP、DP'、CP'，过点P'作AB的垂线，交AB于F，交CD于E，同理得：P'F=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，得出P'E=5+$\frac{12}{5}$=$\frac{37}{5}$，即可求出△CDP'的面积．

解答 发现：
解：连接DP，如图1所示：
由旋转的性质得：AP'=AP，∠PAP'=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB=AD=5，∠BAD=90°，
∴∠BAD-∠DAP'=∠PAP'-∠DAP'，
即∠BAP'=∠DAP，
在△ABP'和△ADP中，$\left\{\begin{array}{l}{AP'=AP}&{\;}\\{∠BAP'=∠DAP}&{\;}\\{AB=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP'≌△ADP（SAS），
∴BP'=DP=3；
故答案为：3；
思考：
解：当PD⊥AD时，如图2所示：
△APD的面积最大=$\frac{1}{2}$×5×3=7.5；
当P在AD上时，PP'最小，
此时P'在AB上，AP'=AP=5-3=2，
∵∠PAP'=90°，
∴PP'=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$；
当点P在射线BD上时，如图3所示：
点P与点B之间的距离最大，
此时∠ABP'=∠ADP=180°-45°=135°，
∴∠CBP'=135°-90°=45°；
故答案为：7.5；2$\sqrt{2}$；45°；
探究：
解：分两种情况：①如图4所示：
连接DP、DP'、CP'，过点P'作AB的垂线，交AB于F，交CD于E，
则EF⊥CD，EF=BC=5，
∵AP是圆D的切线，
∴∠APD=90°，
由发现得：△ABP'≌△ADP，
∴∠AP'B=∠APD=90°，AP'=AP=$\sqrt{A{D}^{2}-D{P}^{2}}$=4，
在Rt△ABP'中，P'F=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴P'E=5-$\frac{12}{5}$=$\frac{13}{5}$，
∴△CDP'的面积=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{13}{5}$=$\frac{13}{2}$；
②如图5所示：DP、DP'、CP'，过点P'作AB的垂线，交AB于F，交CD于E，
同理得：P'F=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴P'E=5+$\frac{12}{5}$=$\frac{37}{5}$，
∴△CDP'的面积=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{37}{5}$=$\frac{37}{2}$；
综上所述，当AP与圆D相切时，△CDP′的面积为$\frac{13}{2}$或$\frac{37}{2}$．

点评 本题是圆的综合题目，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理、切线的性质、三角形面积的计算、分类讨论等知识；本题综合性强，有一定难度．