题目内容

如图所示，已知四边形OABC是菱形，∠O=60°，点M是边OA的中点，以点O为圆心，r为半径作⊙O分别交OA，OC于点D，E，连接BM．若BM= $数学公式$ ， $数学公式$ 的长是 $数学公式$ ．求证：直线BC与⊙O相切．

证明：如图，过点O作OF⊥BC于F，过点B作BG⊥OA于G，则四边形BGOF为矩形，OF=BG．
设菱形OABC的边长为2a，则AM= $\text{[math]}$ OA=a．
∵菱形OABC中，AB∥OC，
∴∠BAG=∠COA=60°，∠ABG=90°-60°=30°，
∴AG= $\text{[math]}$ AB=a，BG= $\text{[math]}$ AG= $\text{[math]}$ a．
在Rt△BMG中，∵∠BGM=90°，BG= $\text{[math]}$ a，GM=a+a=2a，BM= $\text{[math]}$ ，
∴BG²+GM²=BM²，即（ $\text{[math]}$ a）²+（2a）²=（ $\text{[math]}$ ）²，
解得a=1，
∴OF=BG= $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ 的长= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴r= $\text{[math]}$ ，
∴OF=r= $\text{[math]}$ ，即圆心O到直线BC的距离等于圆的半径r，
∴直线BC与⊙O相切．
分析：过点O作OF⊥BC于F，过点B作BG⊥OA于G，则四边形BGOF为矩形，OF=BG．设菱形OABC的边长为2a，先在Rt△BMG中，利用勾股定理得出BG²+GM²=BM²，即（ $\text{[math]}$ a）²+（2a）²=（ $\text{[math]}$ ）²，求得a=1，得到OF= $\text{[math]}$ ，再根据弧长公式求出r= $\text{[math]}$ ，则圆心O到直线BC的距离等于圆的半径r，从而判定直线BC与⊙O相切．
点评：本题考查了菱形的性质，勾股定理，弧长的计算公式，切线的判定，综合性较强，难度适中，利用菱形的性质及勾股定理求出a的值是解题的关键．