Question

已知，如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF
（1）求证：AB=AC；
（2）若AC=3cm，AD=2cm，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）由圆内接四边形的性质，可求得∠ABC=∠2；由于∠1=∠2=∠3=∠4，故∠ABC=∠4，由此得证．
（2）证△ABD∽△AEB，通过相似三角形的对应成比例线段，求出AE及DE的值．

解答：（1）证明：∵∠ABC=∠2，∠2=∠1=∠3，∠4=∠3
∴∠ABC=∠4
∴AB=AC；

（2）解：∵∠3=∠4=∠ABC，∠DAB=∠BAE
∴△ABD∽△AEB
∴

AB

AE

=

AD

AB

∵AB=AC=3，AD=2
∴AE=

AB2

AD

=

9

2

∴DE=

9

2

-2=

5

2

（cm）．

点评：本题综合考查了角平分线，相似三角形，圆内接四边形的性质，是中学阶段的常规题目．