Question

如图，已知矩形ABCD中，BC=6，AB=8，延长AD到点E，使AE=15，连接BE交AC于点P．
（1）求AP的长；
（2）若以点A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断线段BE与⊙A的位置关系并说明理由；
（3）已知以点A为圆心，r₁为半径的动⊙A，使点D在动⊙A的内部，点B在动⊙A的外部，求动⊙A的半径r₁的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先根据四边形ABCD是矩形，可证得AE∥BC，可以列出比例式求出AP的值；
（2）作AH⊥BE，垂足为H，首先求出BE的长，然后根据AB•AE=BE•AH式子求出AH的长，最后比较AH和半径的大小；
（3）根据点与圆的位置关系可知，动⊙A的半径r₁大于AD且小于AB．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥BC，
∴△BPC∽△EPA，
∵AB=8，BC=6，
∴AC=10，
∵

AP

CP

=

AE

CB

，
即

AP

10-AP

=

15

6

解得：AP=

50

7

．

（2）∵AB=8，AE=15，
∴BE=17．
作AH⊥BE，垂足为H，
则AB•AE=BE•AH，
∴AH=

AB•AE

BE

=

8×15

17

=

120

17

．
∵

50

7

＞

120

17

，
∴⊙A与BE相交．

（3）如图，点D在动⊙A的内部，点B在动⊙A的外部，
则动圆A半径的取值范围为6＜r₁＜8．

点评：本题主要考查点与圆、直线与圆的位置关系的知识点，解答本题的关键是利用好三角形相似和垂径定理等知识点，本题比较复杂，需要同学们做题时认真仔细．