Question

（本题满分7分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠B=∠CAD=30°．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若OD⊥AB，BC=4，求AD的长．

 

Answer 1

（1）证明见试题解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连接OA，∠OAC=2∠BAC=60°，又∠CAD=30°，即AD⊥OA，AD为切线；

（2）连接OB，由垂径定理和等腰三角形的性质即可证明BC=AC=OA=5，在直角△OAD中，易得AD=．

试题解析：连结OA，

（1）∵∠AOC=2∠B，∠B=30°，∴∠AOC=60°，

∵ OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=60°，

∵∠ACD=30°，∴∠OAD=90°，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线；

（2）∵OA⊥AD，∴弧BC=弧AC，∴BC=AC=4，

∵△OAC是等边三角形，∴OA=AC=4，

在Rt△OAD中，∠D=30°，OA=4，∴AD=．

考点：1．切线的判定；2．等边三角形的判定与性质．