Question

【题目】如图，DC是⊙O的直径，点B在圆上，直线AB交CD延长线于点A，且∠ABD=∠C．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若AB=4cm，AD=2cm，求tanA的值和DB的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）tanA=；DB的长为．

【解析】

（1）连结OB，由等腰三角形的性质和圆周角定理证出∠CDB+∠C=90°，再由已知条件得出∠OBD+∠ABD=90°，得出∠OBA=90°即可；

（2）设半径为r，则OA=x+2，在Rt△AOB中，根据勾股定理得出方程，解方程求出半径，由三角函数求出得出tanA==，证明△ADB∽△ACB，得出=，设DB=x，则BC=2x，由勾股定理得出方程，解方程即可．

（1）证明：连结OB，如图所示：

∵OB=OD，

∴∠ODB=∠OBD，

∵DC是⊙O的直径，

∴∠DBC=90°，

∴∠CDB+∠C=90°，

∵∠ABD=∠C，

∴∠OBD+∠ABD=90°，

即∠OBA=90°，

∴OB⊥AB，

∴AB是⊙O的切线；

（2）解：设半径为r，则OA=x+2，

在Rt△AOB中，根据勾股定理得：x2+42=（x+2）2，

解得：r=3，

∴tanA==，

∵∠A=∠A，∠ABD=∠C，

∴△ADB∽△ACB，

∴==，

设DB=x，则BC=2x，

∵CD=6，

∴由勾股定理得：x2+（2x）2=62，

解得：x=，

即DB的长为．