Question

如图，抛物线y=ax²-4ax+m交x轴于A（1，0）、B（x₂，0）两点，交y轴的正半轴于C点，且AB•OC=6． 
（1）求抛物线的解析式；
（2）向上平移直线BC交抛物线于点P，交抛物线的对称轴于点Q，若四边形BCQP为等腰梯形，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）先求出抛物线的对称轴为直线x=2，再根据抛物线的对称性求出点B的坐标，从而得到AB的长度，再求出OC的长度，得到点C的坐标，然后把点A和点C的坐标代入抛物线求出a、m的值，即可得解；
（2）过点P作PE⊥x轴于E，过点Q作QF⊥y轴于F，根据点B、C的坐标可得∠OBC=∠OCB=45°，再根据等腰梯形同一底上的两底角相等可得∠BCQ=∠CBP，然后求出∠PBE=∠QCF，再利用“角角边”证明△PBE和△QCF全等，根据全等三角形对应边相等可得PE=QF，即可得到点P的纵坐标，再代入抛物线解析式求解即可．

解答：解：（1）抛物线的对称轴为直线x=-

-4a

2a

=2，
∵抛物线与x轴的交点为A（1，0）、B（x₂，0），
∴点B的坐标为（3，0），
∴AB=3-1=2，
∵AB•OC=6，
∴OC=3，
∴点C的坐标为（0，3），
把点A（1，0），C（0，3）代入抛物线解析式得，

a-4a+m=0 m=3

，
解得

a=1 m=3

，
所以，抛物线的解析式为y=x²-4x+3；

（2）如图，过点P作PE⊥x轴于E，过点Q作QF⊥y轴于F，
∵B（3，0），C（0，3），
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵四边形BCQP为等腰梯形，
∴∠BCQ=∠CBP，PB=QC，
∴∠PBE=∠QCF，
在△PBE和△QCF中，

∠PBE=∠QCF ∠PEB=∠QFC=90° PB=QC

，
∴△PBE≌△QCF（AAS），
∴PE=QF=2，
∴点P的纵坐标为2，
代入抛物线解析式得，x²-4x+3=2，
整理得，x²-4x+1=0，
解得x₁=2+

3

，x₂=2-

3

（舍去），
所以，点P的坐标为（2+

3

，2）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线的对称轴的求解，待定系数法求二次函数解析式，等腰梯形同一底上的两底角相等的性质，全等三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出全等三角形并求出点P的纵坐标是解题的关键．