Question

8．如图，直线$y=-\frac{2}{m}x+4（m为常数）$与坐标轴交于A，C两点，双曲线$y=\frac{k}{x}（x＞0）$经过矩形OABC对角线的交点D，与AB边交于点E，与BC交于点F，若△BEF的面积为9，则k=（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 12

Answer 1

分析 根据直线$y=-\frac{2}{m}x+4（m为常数）$求得A、C的坐标，然后根据矩形的性质求得B和D的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征，得出k=2m，然后求得E、F的坐标，进而根据三角形BEF的面积列出等式，即可求出k值．

解答 解：∵直线$y=-\frac{2}{m}x+4（m为常数）$与坐标轴交于A，C两点，
∴A（2m，0），C（0，4），
∴B（2m，4），
∴D（m，2），
∵双曲线$y=\frac{k}{x}（x＞0）$经过矩形OABC对角线的交点D，
∴k=2m，
把y=4代入$y=\frac{k}{x}（x＞0）$得，x=$\frac{k}{4}$，
∴F（$\frac{k}{4}$，4），
同理求得E（2m，$\frac{k}{2m}$），
∴BF=2m-$\frac{k}{4}$，BE=4-$\frac{k}{2m}$，
∵若△BEF的面积为9，
∴$\frac{1}{2}$BE•BF=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{k}{2m}$）（2m-$\frac{k}{4}$）=9，
∵2m=k，
∴$\frac{1}{2}$×（4-1）×（k-$\frac{k}{4}$）=9，
解得k=8，
故选C．

点评 本题考查了反比例和和一次函数的交点问题以及反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积等，求得各个点的坐标是解题的关键．