Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，矩形DEFG的顶点G与△ABC的顶点C重合，边GD、GF分别与AC，BC重合。GD=12，GF=16，矩形DEFG沿射线CB的方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，点Q从点B出发沿BA方向以每秒5个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC-CA于点H，矩形DEFG、点Q同时出发，当点Q到达点A时停止运动，矩形DEFG也随之停止运动。设矩形DEFG、点Q运动的时间是t秒（t＞0）。（1）求线段DF的长；

（2）求运动过程中，矩形DEFG与Rt△ABC重叠部分的面积s与t的函数关系式（写出自变量的取值范围）；

（3）射线QK能否把矩形DEFG分成面积相等的两部分？若能，求出t值，若不能，说明理由；

（4）连接DH，当DH∥AB时，请直接写出t值。

 

Answer 1

【答案】

（1）连接DF，在Rt△CDF中，CD=12，CF=16，根据勾股定理：

          DF==20           

（2）①当0＜t ≤2时，s=12×16=192   

     ②当2＜t ＜6时，设矩形DEFG的边EF交AB于点M，边DE交AB于点N

     ∵  BF=24-4t tanB=  

∴MF=(24-4t)=18-3t   EM=3t-6    NE=EM=4t-8

∴s=192-EM.EN=192-6    

③当6≤t≤10时,设DG与AB交于点M，BF=40- 4t

   s=MF.FB=    

(3)能,当QK经过矩形DEFG的对称中心O时,就可以把矩形DEFG分成面积相等的两部分;                                                 

  ∵在Rt△CDF与Rt△CAB中, ∠C=90°       

∴Rt△CDF∽Rt△CAB    ∴∠CFD=∠B    ∴DF∥AB

DF=20,    OF=10   BF=24-4t  HF==   QB=5t

∴          

    t=                   

(4) t=                

【解析】（1）由勾股定理即可求出DF的长；

（2）分0＜t ≤2，2＜t ＜6，6≤t≤10三种情况进行讨论；

（3）连接DF，过点F作FH⊥AB于点H，由四边形CDEF为矩形，QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分，根据△HBF∽△CBA，对应边的比相等，就可以求得t的值；

（4）当PG∥AB时四边形PHQG是矩形，由此可以直接写出t．