Question

已知：如图1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D是线段AC的中点，连接BD并延长至点E，使BE=2BD．连接AE，CE．

（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；

（2）如图2所示，将三角板顶点M放在AE边上，两条直角边分别过点B和点C，若∠MEC=∠EMC，BM交AC于点N．

①求证：△ABN≌△MCN；

②当点M恰为AE中点时sin∠ABM=　　　　　　．

Answer 1

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）先证BD=DE，再加上AD=DC的条件可直接得出结论；

（2）①先CM=CE=BA，然后由“角角边”定理直接得出结论；

②由M是AE中点，得出CM=EM=AM，再结合CE=CM，可证得△CEM是等边三角形，从而∠CMA=∠ABM=30°．

【解答】解：（1）∵点D是线段AC的中点，BE=2BD，

∴AD=CD，DE=BD，

∴四边形ABCE是平行四边形．

（1）①∵四边形ABCE是平行四边形，

∴CE=AB，

∵∠MEC=∠EMC，

∴CM=AB，

在△ABN和△MCN中，

，

∴△ABN≌△MCN（AAS）；

②∵∠ACE=∠CAB=90°，M为AE中点，

∴CM=EM=AM，

∵CE=CM，

∴CE=CM=EM，

∴△CEM是等边三角形，

∴∠CME=2∠MCA=60°，

∴∠MCA=30°，

∵△ABN≌△MCN，

∴∠ABM=∠MCA=30°，

∴sin∠ABM=．

【点评】本题为四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的判定与性质、特殊角的三角函数等知识点，难度不大，属中档题．